Erlebnis Arithmetik

zum aktiven Entdecken und selbststŠndigen Erarbeiten

 

ˆAuszŸge

Erlebnis Algebra

zum aktiven Entdecken und

selbststŠndigen Erarbeiten

 

ˆAuszŸge

 

In diesem Buch lernen Sie dazu die Welt der natürlichen Zahlen und ihrer vielfältigen Muster und Strukturen kennen. Und das auf eine Weise, wie Sie sich auch wünschen, dass Ihre Schülerinnen und Schüler Mathematik betreiben.

Sie lernen keine trockenen Fakten, sondern werden eingeladen zu einer mathematischen Entdeckungsreise. Durch viele interessante Probleme werden Sie angeregt, Zahlen und ihre Strukturen selbstständig zu erforschen. In leicht zugänglichen und unterhalt- samen Texten können Sie ihre Erfahrungen dann reflektieren und zu einem fundierten und systematischen Wissen über die Grundlagen der Arithmetik ausbauen.

Nach der Lektüre dieses Buches haben Sie nicht nur einen fundierten Überblick über den Kosmos der natürlichen Zahlen bekommen, sondern auch erfahren, was es bedeutet, eigenaktiv mathematische Entdeckungen zu machen. Sie haben sich dabei Problemlösestrategien und Beweistechniken angeeignet und auch gelernt, wann und wozu mathematische Formelsprache hilfreich ist.

 

ˆLšsungen zu Kapitel 1-8 (ohne 6) (40MB)

Zu allen Kapiteln werden Hinweise zu den Erkundungen und Lšsungsmšglichkeiten aller †bungen angeboten. (Hinweise auf Fehler oder Unklarheiten nehme ich gerne entgegen).

 

 

In diesem Buch lernen Sie, wie die Ideen moderner Mathematik mit den mathematischen Konzepten aus der Schule zusammenhŠngen. Sie erleben, wie durch mathematische Abstraktion das Gemeinsame aus den Inhaltsbereichen der Schule, aus Arithmetik, Kombinatorik, Geometrie und Gleichungsalgebra hervortritt. Dabei begegnen Sie immer wieder denselben universellen Strukturen, die in der Mathematik als "Gruppen", "Ringe" oder "Kšrper" beschrieben werden.

Sie lernen keine trockenen Fakten, sondern verstehen HintergrŸnde und bauen BrŸcken von der Schulmathematik zur modernen Mathematik. Sie werden eingeladen zu einer mathematischen Entdeckungsreise und zur selbststŠndigen Erforschung mathematischer Strukturen. In leicht zugŠnglichen Texten kšnnen Sie Ihre Erfahrungen dann reflektieren und zu einem fundierten und systematischen Wissen Ÿber die Kernideen der Algebra ausbauen.

 

ˆVorlesungsmaterial (13MB)

Diese Materialien enthalten vor allem Bilder und Grafiken, die fŸr Projektionsfolien oder †bungszettel verwendet werden kšnnen.

 

ˆInteraktive Computerprogramme (Geogebra)

ˆInteraktive Computerprogramme (5MB)

Zu den Erkundungen (und auch zu anderen Abschnitten des Buches) gibt es Computerprogramme, die das interaktive Explorieren unterstŸtzen und die mathematischen Konzepte anschaulich visualisieren. Alle Computerprogramme basieren auf der Software GeoGebra (Version 5) und Cinderella (Version 2).

 ˆ www.geogebra.de   ˆ www.cinderella.de

 

Kapitel 1

 



Zahlsysteme der Welt auf einer Interaktiven Karte.

Zahlen werden automatisch Ÿbersetzt, der Aufbau der Zahlsysteme kann erkundet werden.


Erkundung der Wirkung von mehrfachem Spiegeln an zwei Spiegeln

 

 

Kapitel 2

 

Der Wurf einer Kugel am Galtonbrett wird simuliert.


Erkundung der Symmetrien von geometrischen Figuren anhand von Drehungen und Spiegelungen

Man kann eine Pyramide auf verschiedene Weise auseinandernehmen und so unterschiedliche Summenformeln entdecken und erklŠren.


Erkundung der VerknŸpfung von Drehungen und Spiegelungen am Quadrat



Ein Spirograph wird simuliert. An ihm kann man untersuchen, wie sich die Zahl der ZŠhne auf die entstehenden Muster auswirkt.

Verkehrszeichen fŸr die Erkundung von Symmetriebrechung

 


Untersuchung der Symmetriegruppe
der regulŠren n-Ecke

 

Kapitel 3

 

 


Erkundung von Mustern bei der Addition und Multiplikation mit Rest

 


Visualisierung zum Rechnen mit Restklassen

 


Visualisierung, wie Vielfache von Restklassen einfache Untergruppen erzeugen.

 


Simulation von John Conways ãGame of LifeÒ mit verschiedenen Regeln als Anwendung von Restklassenarithmetik

 


Visualisierung eines Produktes zweier zyklischer Gruppen als ein- und aufklappbarer Torus

 


Spiel ãMerlinÒ (oder ãLight-outÒ) – Welche Felder muss man drŸcken, um alle grŸnen Lichter zu lšschen? Anwendung von Restklassenarithmetik.

 

Kapitel 4

 

 

Erkundung der VerknŸpfung von Vertauschungen am Beispiel eines zweidimensionalen ãZauberwŸrfelsÒ

 

Erkundung der Drehungen, Spiegelungen und weiterer Symmetrien des Tetraeders an einem 3D-Modell (auch mit 3D-Brille)

 



Untersuchung der Schiebepuzzles (ã15-PuzzleÒ) auf Lšsbarkeit und Lšsungswege – auch an einfacheren Beispielen

 

Kapitel 5

 

 

Erkundung von Gruppenstrukturen und Untergruppen mit Hilfe von Pfeildiagrammen (Cayleydiagramme)

 



Programm zur flexiblen Darstellung von VerknŸpfungstabellen von endlichen Gruppen und deren Untergruppen und Nebenklassen

 

Kapitel 6

 

 

Erkundung der Wirkungsweise verschiedener ebener Abbildungen und ihrer VerknŸpfungen (Drehung, Spiegelung, Streckung, Scherung etc..)

 

Visualisierung einer Drehung in der Ebene mit ErklŠrung der Struktur der Drehmatrix

 

Erkundung der Wirkungsweise der Matrix einer linearen Abbildung (Drehung, Spiegelung, Streckung, Scherung etc..)

 



Erkundung der Symmetrien ebener Muster (Parkette, Kacheln, Tapeten)

 

 

Visualisierung aller 15 Tapetengruppen, mit Kacheln und Zufallsmustern

 



Erkundung der Erzeugung eines Kristalls aus elementaren Verschiebungen und Drehungen. Finden einer BegrŸndung fŸr ãkristallographische RestriktionÒ (nur 2,3,4,6-zŠhlige Symmetrie)

 



Erzeugung eines Parkettes im Stil von M.C. Escher durch VerŠnderung einer Kachel

 

Kapitel 7

 

 

Darstellung einer Kostruktion fŸr Strecken mit irrationaler SeitenlŠnge mit Zirkel und Lineal.

 



Visualisierung einer Beziehung zur Herleitung der Caradnoschen Formel (auch mit 3D-Brille)

 

 



Erkundung von Operationen mit komplexen Zahlen (Additon, Multiplikation, Wurzel, Potenz) ihrer geometrischen Interpretation (in der Gau§schen Zahlenebene)

 

Kapitel 8

 

 



Erkundung zu Teilern, Vielfachen und Primzalen unter den komplexen ganzen Zahlen (Gau§sch Zahlen)

 



Visualisierung eines Beweises fŸr den Fundamentalsatz der Algebra

 

Kapitel 9

 

 



Erkundung der Anzahl und Lage der komplexen Nullstellen von Polynomen